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Der `!Dirac-Operator`! ist ein `F33f`_`[Differentialoperator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differentialoperator]`_`f, der eine `F33f`_`[Quadratwurzel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quadratwurzel]`_`f aus dem `F33f`_`[Laplace-Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Laplace-Operator]`_`f ist. Der ursprüngliche Fall, mit dem sich `F33f`_`[Paul Dirac`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Paul_Dirac]`_`f beschäftigte, war die formale `F33f`_`[Faktorisierung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Faktorisierung]`_`f eines Operators für den `F33f`_`[Minkowski-Raum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Minkowski-Raum]`_`f, der die Quantentheorie mit der `F33f`_`[speziellen Relativitätstheorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spezielle_Relativitätstheorie]`_`f verträglich macht.

>>Contents

• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f

• `F0af`_`[Geschichte`#geschichte]`_`f

• `F0af`_`[Der Dirac-Operator eines Dirac-Bündels`#der-dirac-operator-eines-dirac-b-ndels]`_`f

• `F0af`_`[Beispiele`#beispiele]`_`f

• `F0af`_`[Elementares Beispiel`#elementares-beispiel]`_`f

• `F0af`_`[Spin-Dirac-Operator`#spin-dirac-operator]`_`f

• `F0af`_`[Hodge-De-Rham-Operator`#hodge-de-rham-operator]`_`f

• `F0af`_`[Atiyah-Singer-Dirac-Operator`#atiyah-singer-dirac-operator]`_`f

• `F0af`_`[Eigenschaften`#eigenschaften]`_`f

• `F0af`_`[Verallgemeinerungen`#verallgemeinerungen]`_`f

• `F0af`_`[Siehe auch`#siehe-auch]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f

-─

>>Definition

Es sei D ∈ ∈ Diff 1 ⁡ ⁡ ( V , V ) {\\displaystyle D\\in \\operatorname {Diff} ^{1}(V,V)} ein `F33f`_`[geometrischer Differentialoperator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Geometrischer_Differentialoperator]`_`f erster Ordnung, der auf ein `F33f`_`[Vektorbündel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Vektorbündel]`_`f V → → M {\\displaystyle V\\to M} über einer `F33f`_`[riemannschen Mannigfaltigkeit`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Riemannsche_Mannigfaltigkeit]`_`f M {\\displaystyle M} wirkt. Wenn dann

D 2 = Δ Δ , {\\displaystyle D^{2}=\\Delta \\,,}

gilt, wobei Δ Δ {\\displaystyle \\Delta } ein `F33f`_`[verallgemeinerter Laplace-Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Verallgemeinerter_Laplace-Operator]`_`f auf V {\\displaystyle V} ist, so heißt D {\\displaystyle D} Dirac-Operator.`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f]

>>Geschichte

Ursprünglich hatte `F33f`_`[Paul Dirac`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Paul_Dirac]`_`f die Wurzel aus dem `F33f`_`[D’Alembertoperator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=D’Alembertoperator]`_`f ◻ ◻ {\\displaystyle \\square } betrachtet und damit die relativistische Quantenfeldtheorie eines `F33f`_`[Elektrons`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Elektron]`_`f begründen wollen.

Dirac betrachtete für n=3 den Differentialoperator

∑ ∑ i = 0 n γ γ i ∂ ∂ ∂ ∂ x i , {\\displaystyle \\sum _{i=0}^{n}\\gamma _{i}{\\frac {\\partial }{\\partial x_{i}}}\\,,}

wobei γ γ i {\\displaystyle \\gamma _{i}} die `F33f`_`[Dirac-Matrizen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Dirac-Matrizen]`_`f sind. Dieser ist jedoch nach heutigem Verständnis kein Dirac-Operator mehr.`:cite-ref-2[`F5bf`_`[2`#cite-note-2]`_`f]

In den 1960ern griffen `F33f`_`[Michael Francis Atiyah`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Michael_Francis_Atiyah]`_`f und `F33f`_`[Isadore M. Singer`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Isadore_M._Singer]`_`f diesen von Dirac definierten Differentialoperator auf und entwickelten daraus den hier im Artikel hauptsächlich beschriebenen (verallgemeinerten) Dirac-Operator. Der Name Dirac-Operator wurde von Atiyah und Singer geprägt. Der Operator beeinflusste die Mathematik und die `F33f`_`[mathematische Physik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Mathematische_Physik]`_`f des 20. Jahrhunderts stark.`:cite-ref-3[`F5bf`_`[3`#cite-note-3]`_`f]

>>Der Dirac-Operator eines Dirac-Bündels

Es sei ( M , g ) {\\displaystyle (M,g)} eine riemannsche Mannigfaltigkeit und ( E , h , ∇ ∇ E ) {\\displaystyle ({\\mathcal {E}},h,\\nabla ^{\\mathcal {E}})} ein Dirac-Bündel, bestehend aus einem `F33f`_`[Clifford-Modul-Bündel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Clifford-Modul-Bündel]`_`f E → → M {\\displaystyle {\\mathcal {E}}\\to M} einer hermiteschen Metrik h {\\displaystyle h} auf E {\\displaystyle {\\mathcal {E}}} und einem Clifford-Zusammenhang ∇ ∇ E {\\displaystyle \\nabla ^{\\mathcal {E}}} auf E {\\displaystyle {\\mathcal {E}}} . Dann ist der Operator

D : : Γ Γ ( M , E ) → ∇ ∇ E Γ Γ ( M , T ∗ ∗ M ⊗ ⊗ E ) → c Γ Γ ( M , E ) {\\displaystyle D\\colon \\Gamma (M,{\\mathcal {E}}){\\xrightarrow {\\nabla ^{\\mathcal {E}}}}\\Gamma (M,T^{*}M\\otimes {\\mathcal {E}}){\\xrightarrow {c}}\\Gamma (M,{\\mathcal {E}})}

der zum Dirac-Bündel ( E , h , ∇ ∇ E ) {\\displaystyle (E,h,\\nabla ^{\\mathcal {E}})} assoziierte Dirac-Operator. In lokalen Koordinaten hat er die Darstellung

D = ∑ ∑ i = 1 n c ( d x i ) ∇ ∇ ∂ ∂ i E . {\\displaystyle D=\\sum _{i=1}^{n}c(\\mathrm {d} x^{i})\\nabla _{\\partial _{i}}^{\\mathcal {E}}\\,.}

>>Beispiele

>>>Elementares Beispiel

Der Operator − − i ∂ ∂ x {\\displaystyle -i\\partial _{x}} ist ein Dirac-Operator über dem `F33f`_`[Tangentialbündel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Tangentialbündel]`_`f von R {\\displaystyle \\mathbb {R} } .

>>>Spin-Dirac-Operator

Betrachtet werde der Konfigurationsraum eines Teilchens mit `F33f`_`[Spin`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spin]`_`f 1/2, das auf die Ebene R 2 {\\displaystyle \\mathbb {R} ^{2}} beschränkt ist, welche die Basis-Mannigfaltigkeit bildet. Der Zustand wird durch eine Wellenfunktion ψG mit zwei komplexen Komponenten beschrieben, für die also jeweils R 2 → → C {\\displaystyle \\mathbb {R} ^{2}\\to \\mathbb {C} \\,} gelten soll, wobei Gesamtzustände, die sich nur um einen komplexen Faktor unterscheiden, identifiziert werden. Der Gesamtzustand ist also:

ψ ψ G = [ χ χ ↑ ↑ ( x , y ) η η ↓ ↓ ( x , y ) ] . {\\displaystyle \\psi _{G}={\\begin{bmatrix}\\chi _{\\uparrow }(x,y)\\\\\\eta _{\\downarrow }(x,y)\\end{bmatrix}}\\,.}

Dabei sind x {\\displaystyle x} und y {\\displaystyle y} die üblichen kartesischen Koordinaten auf R 2 {\\displaystyle \\mathbb {R} ^{2}} : χ χ ↑ ↑ {\\displaystyle \\chi _{\\uparrow }} definiert die Wahrscheinlichkeitsamplitude für die aufwärts gerichteten Spin-Komponente (Spin-Up), und analog η η ↓ ↓ {\\displaystyle \\eta _{\\downarrow }} für die Spin-Down-Komponente. Der sogenannte Spin-Dirac-Operator kann dann geschrieben werden als

D = − − i σ σ x ∂ ∂ x − − i σ σ y ∂ ∂ y , {\\displaystyle D=-i\\sigma _{x}\\partial _{x}-i\\sigma _{y}\\partial _{y},}

wobei σ`*x`* und σ`*y`* die `F33f`_`[Pauli-Matrizen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Pauli-Matrizen]`_`f sind. Man beachte, dass die `F33f`_`[antikommutativen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Antikommutativität]`_`f Beziehungen der Pauli-Matrizen einen Beweis der obigen Definition trivial machen. Diese Beziehungen definieren den Begriff der `F33f`_`[Clifford-Algebra#Beispiele`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Clifford-Algebra]`_`f am Beispiel der `F33f`_`[Quaternionen-Algebra`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quaternion]`_`f. Lösungen der `F33f`_`[Dirac-Gleichung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Dirac-Gleichung]`_`f für Spinor-Felder werden oft `*harmonische Spinoren`* genannt`:cite-ref-4[`F5bf`_`[4`#cite-note-4]`_`f].

>>>Hodge-De-Rham-Operator

Sei ( M , g ) {\\displaystyle (M,g)} eine `F33f`_`[orientierbare`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Orientierung_(Mathematik)]`_`f `F33f`_`[riemannsche Mannigfaltigkeit`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Riemannsche_Mannigfaltigkeit]`_`f und sei d : : A ( M ) ∙ ∙ − − 1 → → A ∙ ∙ ( M ) {\\displaystyle \\mathrm {d} \\colon {\\mathcal {A}}(M)^{\\bullet -1}\\to {\\mathcal {A}}^{\\bullet }(M)} die `F33f`_`[äußere Ableitung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Äußere_Ableitung]`_`f und d t : : A ∙ ∙ ( M ) → → A ∙ ∙ − − 1 ( M ) {\\displaystyle \\mathrm {d} ^{t}\\colon {\\mathcal {A}}^{\\bullet }(M)\\to {\\mathcal {A}}^{\\bullet -1}(M)} der zur äußeren Ableitung bezüglich der L²-Metrik `F33f`_`[adjungierte Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Adjungierter_Operator]`_`f. Dann ist

d + d t : : A ∙ ∙ ( M ) → → A ∙ ∙ ( M ) {\\displaystyle \\mathrm {d} +\\mathrm {d} ^{t}\\colon {\\mathcal {A}}^{\\bullet }(M)\\to {\\mathcal {A}}^{\\bullet }(M)}

ein Dirac-Operator.`:cite-ref-5[`F5bf`_`[5`#cite-note-5]`_`f]

>>>Atiyah-Singer-Dirac-Operator

Es gibt auch einen Dirac-Operator in der Clifford-Analysis. Im n-dimensionalen euklidischen Raum, d. h. für R n → → R n , {\\displaystyle \\mathbb {R} ^{n}\\to \\mathbb {R} ^{n}\\,,} ist das

D = ∑ ∑ j = 1 n e j ∂ ∂ ∂ ∂ x j {\\displaystyle D=\\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\\frac {\\partial }{\\partial x_{j}}}}

wobei

{ e j : j = 1 , … … , n } {\\displaystyle \\{e_{j}:j=1,\\ldots ,n\\}}

eine Orthonormal-Basis des euklidischen Raumes ist und R n {\\displaystyle \\mathbb {R} ^{n}} in eine `F33f`_`[Clifford-Algebra`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Clifford-Algebra]`_`f eingebettet ist. Dies ist ein Spezialfall des Atiyah-Singer-Dirac-Operators, der auf den Schnitten eines `F33f`_`[Spinor-Bündels`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spinor]`_`f wirkt.

Für eine `F33f`_`[Spin-Mannigfaltigkeit`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spin-Mannigfaltigkeit]`_`f M {\\displaystyle M} , ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator lokal folgendermaßen definiert:

Für x ∈ ∈ M {\\displaystyle x\\in M} und e 1 ( x ) , … … , e j ( x ) {\\displaystyle e_{1}(x),\\ldots ,e_{j}(x)} eine lokale `F33f`_`[Orthonormalbasis`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Orthonormalbasis]`_`f für den Tangentenraum von M {\\displaystyle M} in x {\\displaystyle x} ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator

∑ ∑ j = 1 n e j ( x ) Γ Γ ~ ~ e j ( x ) {\\displaystyle \\sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\\tilde {\\Gamma }}_{e_{j}(x)}} ,

wobei Γ Γ ~ ~ {\\displaystyle {\\tilde {\\Gamma }}} ein `F33f`_`[Paralleltransport`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Paralleltransport]`_`f des `F33f`_`[Levi-Civita-Zusammenhangs`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Levi-Civita-Zusammenhang]`_`f auf M {\\displaystyle M} für das Spinor-Bündel über M {\\displaystyle M} ist.

>>Eigenschaften

Das `F33f`_`[Hauptsymbol`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hauptsymbol]`_`f eines verallgemeinerten Laplace-Operators ist ξ ξ ↦ ↦ ‖ ‖ ξ ξ ‖ ‖ 2 {\\displaystyle \\xi \\mapsto \\|\\xi \\|^{2}} . Entsprechend ist das Hauptsymbol eines Dirac-Operators ξ ξ ↦ ↦ ‖ ‖ ξ ξ ‖ ‖ {\\displaystyle \\xi \\mapsto \\|\\xi \\|} und somit sind beide Klassen von Differentialoperatoren `F33f`_`[elliptisch`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Elliptischer_Differentialoperator]`_`f.

>>Verallgemeinerungen

Der Operator D : : C ∞ ∞ ( R k ⊗ ⊗ R n , S ) → → C ∞ ∞ ( R k ⊗ ⊗ R n , C k ⊗ ⊗ S ) {\\displaystyle D\\colon C^{\\infty }(\\mathbb {R} ^{k}\\otimes \\mathbb {R} ^{n},S)\\to C^{\\infty }(\\mathbb {R} ^{k}\\otimes \\mathbb {R} ^{n},\\mathbb {C} ^{k}\\otimes S)} , der auf die nachfolgend definierten spinorwertige Funktionen wirkt,

f ( x 1 , … … , x k ) ↦ ↦ ( ∂ ∂ x 1 _ _ f ∂ ∂ x 2 _ _ f … … ∂ ∂ x k _ _ f ) {\\displaystyle f(x_{1},\\ldots ,x_{k})\\mapsto {\\begin{pmatrix}\\partial _{\\underline {x_{1}}}f\\\\\\partial _{\\underline {x_{2}}}f\\\\\\ldots \\\\\\partial _{\\underline {x_{k}}}f\\\\\\end{pmatrix}}}

wird in der Clifford-Analysis oft als Dirac-Operator in `*k`* Clifford-Variablen genannt. In dieser Notation ist `*S`* der Raum von `F33f`_`[Spinoren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spinor]`_`f, x i = ( x i 1 , x i 2 , … … , x i n ) {\\displaystyle x_{i}=(x_{i1},x_{i2},\\ldots ,x_{in})} sind `*n`*-dimensionale Variablen und ∂ ∂ x i _ _ = ∑ ∑ j e j ⋅ ⋅ ∂ ∂ x i j {\\displaystyle \\textstyle \\partial _{\\underline {x_{i}}}=\\sum _{j}e_{j}\\cdot \\partial _{x_{ij}}} ist der Dirac-Operator in der i {\\displaystyle i} -ten Variablen. Dies ist eine gebräuchliche Verallgemeinerung des Dirac-Operators (`*k=1`*) und der `F33f`_`[Dolbeault-Kohomologie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Dolbeault-Kohomologie]`_`f (`*n=2`*, `*k`* beliebig). Er ist ein Differentialoperator, der invariant zu der Operation der Gruppe SL ⁡ ⁡ ( k ) × × Spin ⁡ ⁡ ( n ) {\\displaystyle \\operatorname {SL} (k)\\times \\operatorname {Spin} (n)} ist. Die `F33f`_`[Injektive Auflösung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Injektive_Auflösung]`_`f von `*D`* ist nur für einige Spezialfälle bekannt.

>>Siehe auch

• `F33f`_`[Atiyah-Singer-Indexsatz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Atiyah-Singer-Indexsatz]`_`f

>>Literatur

• `F33f`_`[Thomas Friedrich`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Thomas_Friedrich_(Mathematiker)]`_`f: `*Dirac Operators in Riemannian Geometry`* (Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie, 1997). `F33f`_`[American Mathematical Society`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=American_Mathematical_Society]`_`f, Providence, R.I. 2000, ISBN 978-0-8218-2055-1.

• Fabrizio Colombo, Irene Sabadini: `*Analysis of Dirac Systems and Computational Algebra`* (Progress in mathematical physics; Bd. 39). Birkhäuser, Boston, Mass. 2004, ISBN 978-0-8176-4255-6.

>>Einzelnachweise

`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f Liviu I. Nicolaescu: `*Lectures on the geometry of manifolds.`* 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270-853-3, S. 498

`:cite-note-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-2]`_`f Herbert Schröder: Funktionalanalysis. 2. korr. Auflage. Harri Deutsch, 2000, ISBN 3-8171-1623-3, S. 364.

`:cite-note-3`!3.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-3]`_`f Yanlin Yu: The index theorem & the heat equation method. 1. Auflage. World Scientify, Singapur 2001, ISBN 981-02-4610-2, S. 195.

`:cite-note-4`!4.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-4]`_`f D. V. Alekseevskii (originator): `*Spinor structure.`* Encyclopedia of Mathematics

`:cite-note-5`!5.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-5]`_`f Liviu I. Nicolaescu: `*Lectures on the geometry of manifolds.`* 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270-853-3, S. 499

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